Açı kenar bağıntıları ile ilgili Kpss son 12 yılda 5 soru çıkarmıştır. Yıllara göre soru çıkma oranı fazla olmasa da geometri sorularının kpss puan hesaplamasında belirleyici rol oynadığını bildiğimiz için üçgende açı kenar bağıntıları konusunu iyi anlamamız gerekmektedir.
Üçgende Açı Kenar Bağıntıları
- Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu , diğer iki kenarın toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Aşağıda bu açı kenar bağıntıları ile ilgili formül yer almaktadır.
|b-c| < a < b + c
|a-c| < b < a + c
|a-b| < c < a + b
Daha iyi anlamamız açısından bir örnek verelim.
Örnek: Yukarıdaki ABC üçgenine göre |AB|=4, |AC|=8 ise |BC| uzunluğunun alabileceği değerleri nelerdir?
Çözüm: |BC| uzunluğu yani a kenarı bizden isteniyor. Yukarıdaki formüle göre:
8-4<a<8+4 => 4<a<12 sonucu çıkar. Bunun da anlamı a’nın alabileceği değerler 5,6,7,8,9,10,11 değerleridir.
- Bir üçgende büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.
sonucu çıkmaktadır.
- Kpss geometri üçgende açı kenar bağıntıları konusunda bir diğer önemli nokta da geniş açı ve dar açı şartlarıdır.
olmak üzere;
olmak üzere;
olmak üzere;
- Geometri dersinin bu konusunda bir diğer özellik de çeşitkenar üçgenle ilgilidir. Çeşitkenar bir ABC üçgeninde A köşesinden çizilen yükselik, açıortay ve kenarortay arasında bir bağıntı oluşmaktadır. Bu bağıntı şu şekildedir:
- Bir üçgenin iç açıları arasındaki sıralama ile yardımcı elemanları arasındaki sıralama terstir.
olmak üzere;
Şimdi de kpss geometri dersinin üçgende açı kenar bağıntıları konusu ile ilgili birkaç örnek çözelim.
Örnek: ABCD bir dörtgen olmak üzere;
|AB|=12, |AC|=8, |BD|=6, |DC|=9 olduğuna göre |BC|= x’in alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?
Çözüm: ABC üçgeninde; 12-8<x<12+8 => 4<x<20
BCD üçgeninde; 9-6<x<9+6 => 3<x<15
Bu iki üçgenin sonucunu ortak çözersek
4<x<15 olacağından x’in alabileceği değerler 10 tane olacaktır.
Örnek: ABC bir üçgen, |AC|=7, |CB|=24 olmak üzere;
Yandaki şekilde C açısı geniş açı olduğuna göre |AB|=x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
Çözüm: Üçgen eşitsizliğinden;
24-7<x<24+7 burdan 17<x<31 sonucu çıkar.
Geniş açı sorulduğundan m(C)>90º olduğuna göre;
x²>7²+24²
x>25 => 25<x<31 olacağından x’in alabileceği en küçük tam sayı değeri 26 olacaktır.
Bir sonraki genel yetenek geometri dersinin konusu özel üçgenler olacaktır.
Üçgende Açı Kenar Bağıntıları, bir üçgenin kenarları ve açıları arasında kurulan ilişkileri ifade eden matematiksel kurallardır.
Üçgende Açı Kenar Bağıntılarının önemli olduğu birkaç yer vardır:
1. Üçgenin açılarına bağlı olarak, kenarlarının uzunlukları hakkında bilgi sağlar.
2. Üçgenin kenarlarının uzunluklarına bağlı olarak, açıları hakkında bilgi sağlar.
3. Üçgenin çeşitli özelliklerini, örneğin eşlik veya benzerlik durumunu belirlemeye yardımcı olur.
\textbf{Üçgenin Açı Kenar Bağıntıları:}
Üçgenin üç açısının toplamı her zaman 180 derecedir. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\begin{align*}
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\end{align*}
\textbf{Üçgenin Kenar Kenar Bağıntıları:}
Üçgenin herhangi iki kenarının toplamı, diğer kenardan daha büyük olmalıdır. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\begin{align*}
AB + AC &> BC \\
AB + BC &> AC \\
AC + BC &> AB
\end{align*}
\textbf{Üçgenin Açı Kenar Bağıntıları (Kosinüs Teoremi):}
Üçgende, bir açının kosinüsü, karşısındaki kenara eşittir. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\begin{align*}
\cos A &= \frac{BC^2 + AC^2 – AB^2}{2 \cdot BC \cdot AC} \\
\cos B &= \frac{AC^2 + AB^2 – BC^2}{2 \cdot AC \cdot AB} \\
\cos C &= \frac{AB^2 + BC^2 – AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}
\end{align*}
\textbf{Üçgenin Açı Kenar Bağıntıları (Alan Bağıntıları):}
Üçgenin alanı, tabanını bir kenar olarak alıp bu tabana ait yükseklikle hesaplanabilir. Bu durumu şu şekilde ifade edebiliriz:
\begin{align*}
Alan &= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_a \\
Alan &= \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b \\
Alan &= \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_c
\end{align*}
Üçgen Açı Kenar Bağıntıları için diğer önemli bir konu da Trigonometri’dir. Trigonometri, üçgenden bir açı ve karşısındaki kenarın ilişkisini inceler.
